Posons le problème : Un préjugé largement répandu

Un préjugé bien établi admet l’existence d’une ligne de démarcation, une ligne Maginot ou une muraille, comme il vous plaira de la désigner, entre les mathématiques et la littérature, entre l’esprit de géométrie et l’esprit de finesse.

Pascal avait introduit cette distinction pour aussitôt la dénoncer dans un texte utilisant un procédé montre que les tous deux ont le même fondement. Encore aujourd’hui nous reconnaissons nous, tous, être humains comme aspirant à comprendre, à se sortir des entraves à percevoir le sens.

Pourtant, depuis lors, elle s’est instituée comme un marqueur social et un outil de sélection. La préparation aux grandes écoles consacre bien les deux filières avec les taupins et leur rigueur de penser et les Khâgneux et leur art d’écrire.

Bien entendu, ces deux enseignements prétendent concourir, chacun à leur façon, à la formation des citoyens, et, au moment où quatre-vingt pour cent des élèves obtiennent le BAC, il est légitime de rechercher à rendre effectif leur utilité sur la formation du raisonnement et la traduction, l’interprétation et la compréhension du monde et plus précisément aux représentations qui en sont faites.

Alors, peut-on envisager une alliance des deux disciplines avec, en tête, le principe de la tolérance des idées, la recherche de quelques élucidations propres à donner la supériorité au dialogue sur les empoignades ou les pugilats.

Soulevons le problème : peut-on envisager une réponse ?

L’une des solution, pour résorber ce clivage, pourrait être d’intégrer à l’enseignement des mathématiques les méthodes d’interprétation habituellement utilisées dans l’étude des textes. On pourrait espérer par ce truchement rendre les ouvrages mathématiques et les exercices plus parlants.

On accepte bien la référence aux mathématiques simple dans les textes littéraires. On se rappelle Molière faisant répondre Don Juan à Sganarelle qui lui demande : « Encore faut-il croire quelque chose dans le monde : qu’est-ce donc que vous croyez ? », « Je crois que deux et deux font quatre, Sganarelle, et que quatre et quatre sont huit. ».

Il est admis que la logique mathématiques, bien que dépourvue d’humanité, peut aider à préciser certains textes,
comme par exemple dans le mariage de Figaro (acte3, scène XV) où la question se pose d’interpréter l’engagement écrit « somme que je lui rendrait […] et/ou je l’épouserai » comme une disjonction inclusive ou exclusive, Figaro doit-il rendre et épouser, rendre sans épouser ou épouser sans rendre ? (O. Ducrot la preuve et le dire Repères 1973).

Mais ce ne sont là que des cas isolés.

Aborder les mathématiques avec un regard littéraire ou philosophique, est possible, mais fait figure d’exception : par exemple Alain Badiou situant l’origine du principe du tiers exclu au cinquième siècle avant notre ère, dans le poème de Parménide : Une idée est ou vrai ou fausse, voilà une alternative qui ne comporte que deux branches exclusive l’une de l’autre.

« Avoir faux » n’est pourtant pas le contraire de « avoir vrai » ! C’est plutôt, comme une phrase mal construite, qui ne respecte pas les règles.
On peut « avoir faux » et tomber « juste ».

Il y a, aussi, le travail de Salanski notamment en 1991 avec son étude sur l’infini, le continu et l’espace. Cependant ces approches traitent essentiellement de concepts déterminés et n’induisent pas une modification de l’enseignement à court terme.

Enfin, rappelons les observations pertinentes de Stella Baruk qui a bien posé le problème dans ses nombreux ouvrages et son dictionnaire de mathématiques.

Reposons le problème

Observez le sentiment d’incompréhension que provoque immédiatement les mathématiques. Ce sentiment persiste même parmi les plus aguerris.
Lire Grothendieck reste une difficulté pour les mieux formés, et, pour le plus grand nombre, ouvrir une page wikipédia sur un terme mathématique est souvent déconcertant.

Et tant mieux, pourvu que cela entraîne, dans la majorité des cas, un souhait, un désir ou une volonté de comprendre, c’est-à-dire une nécessité d’interprétation. Dire son incompréhension c’est aussi dire son désir de comprendre, d’être en pays de connaissances, de s’y retrouver.

C’est parce qu’il n’y a pas de compréhension immédiate du sens, qu’il y a interprétation, que nous tous, être humains aspirons à comprendre, à sortir des entraves à percevoir le sens

Interpréter, cela s’apprend-il ?

Considérons que l’œuvre du mathématicien est un discours et l’exercice mathématique un texte énigmatique puis mobilisons les pratiques d’interprétation édifiées au cours des deux mille ans passés.

Traduire, c’est souvent procéder « mécaniquement », mais ce qui distingue le bon traducteur c’est évidemment qu’il ne se contente pas d’un simple mot à mot. L’exactitude ne suffit pas, le niveau le plus profond est celui de la fécondité, de la fertilité.

À la différence de la lecture rapide, du « surf » sur la toile, la volonté de comprendre suppose de lire avec un projet : pour que le texte « nous parle »,
« qu’est-ce que ça veut dire ? » est, souvent, la première pensée, et pas seulement devant un exercice de mathématiques.

Le sens d’un texte ne se révèle qu’a la condition de l’interroger sur ce qu’il a à nous dire. Prenons le temps de voir et le temps de comprendre avant de prendre le temps de conclure.

Ne soyons pas si pressé de tourner la page avant même d’avoir pris le temps de la lire.

Avoir le projet de le comprendre, c’est d’abord de prélever les éléments utiles : As-t-on bien lu ? Est-ce qu’aucun passage est passé sous silence ?

Y-a-t-il des passages obscurs ?

C’est, très probablement, le premier conseil proposé au débutant. On précise souvent de souligner les mots importants, de se rappeler ou trouver les définitions nécessaires. En effet, il n’est pas rare de passer à côté de l’important. L’évidence nous aveugle quand elle ne nous crève pas les yeux. plaisantait Gustave Flaubert dans son Dictionnaire des idées reçues (1913).

On ajoute souvent de lire avec un papier et un crayon, on trouve même recensées 14 méthodes de prise de notes, de s’assurer de connaître la définition de chaque mot « mathématique » et de reconnaître suffisamment la définition des autres mots.
En effet, la définition d’un mot mathématique conduit souvent vers une solution. ( ex rectangle dans le 1/4 de cercle)

Parfois, l’intelligence du texte n’est pas immédiate et requiert le commentaire de l’enseignant collectivement ou en tête à tête.

Cependant, lire des mathématiques se réduit-il à lire du sens littéral ? N’y a-t-il pas de sens figuré ?

Sens littéral et sens figuré

On peut observer que l’enseignement primaire et secondaire utilise abondamment les figures, les graphiques, les courbes pour donner un sens au texte.
Pensez à la balance pour les équations, aux courbes pour les fonctions (parabole, hyperbole…) et au plan complexe pour les nombres imaginaire.

On sait bien qu’un petit dessin vaut mieux qu’un long discours, encore faudrait-il savoir passer d’une expression écrite à un dessin. Si cela tombe parfois sous le sens, habituellement il est indispensable d’avoir été initié. Peut-on trouver seul la représentation graphique d’un polynôme ?

Pour Bachelard, le sens n’est pas une qualité à contempler mais un geste à attraper.

Malheureusement, il n’existe aucun manuel, aucun guide d’utilisation, aucun algorithme qui mènerait infailliblement du texte au sens. Donner du sens serait donc un art.

Et , il y a les règles de l’art ; l’art étant ce par quoi il y a bien des règles, mais dont l’application combinatoire n’est pas à son tour soumise à des règles.

Comment donc attraper cette habileté, si ce n’est par l’enseignement et la pratique au moment même de la lecture et du décryptage des théorèmes, des définitions, de explications et des questionnements scolaires. Notez, au passage, que cet argument est en faveur de l’enseignement en présentiel comme on dit aujourd’hui. L’enseignant doit saisir la balle au bond. S’arrêter sue une incompréhension, une méprise ou combler une lacune.

Souvenons-nous que comprendre est un savoir pratique, car il inclut l’application de ce qui est à comprendre (un texte, une tradition, une loi juridique, une norme éthique une pièce de théâtre ou de musique) à la situation présente.

Les difficultés de toutes sortes que nous rencontrons ne doivent pas nous dévier de notre objectif. Certes, rien de plus personnel que le rapport que chacun de nous entretient aux mots de la langue. Si bien que la nature des objets mathématiques dépend de la subjectivité de celui qui les manie.

Qu’est-ce que la démonstration, si ce n’est, comme la dialectique, une joute oratoire entre un questionneur et un répondant ? Au cours d’une démonstration, le professeur passe, ou demande de passer, d’une évidence à une autre. La raison est alors caractérisée par l’idée d’évidence. (cf Pascal De l’art de persuader, et Jankélévitch)

Il faudrait non seulement reconnaître que comprendre, c’est toujours « comprendre autrement », mais que la lecture d’un texte, au sens fort de ce terme, implique de « rendre l’autre [sens] plus fort ».

Le slogan « Lire c’est comprendre » peut s’entendre de deux façons au moins. « Lisez, vous comprendrez ! » ou « Si vous avez compris, vous avez-bien lu. ».

En ce sens, la compréhension, devient le critère de fin de lecture. « Ah ! Oui, cette fois j’ai compris », c’est le « Aha ! Insight » qui a servi de titre à l’ouvrage Martin Gardner pour présenter un bon nombre de situation ou l’on réalise avoir compris.

À une lecture littérale, on peut préférer une lecture latérale, une lecture entre les lignes afin de chercher ce que cache, ce que révèle le texte, comme on le ferait pour résoudre une énigme, où chercher le sens d’un texte qui aurait été censuré.

Le contrat

Parvenir à cette étape ultime de la compréhension, suppose d’avoir accepté le contrat souvent implicite. Le texte mathématiques tient pour acquis qu’il est compréhensible par l’élève, qu’il n’évoque que des objets ou des notions connues, que la formulation est sans équivoque et que la bonne volonté du lecteur est acquise de sorte que toute interprétation incohérente sera rejetée. À cette fin, l’auteur est sensé fournir toutes les information requises, n’affirmer que ce qu’il croit être vrai, ne dire que ce qui est pertinent, et être clair, sans ambiguïté. Impossible, donc, d’aborder l’exercice mathématique en invoquant le manque d’information pour justifier l’opacité de l’énoncé. Si une donnée semble absente, est une donnée accessible déduction.

Ajoutons, la clarté de l’énoncé, l’élégance de la forme, adéquation, c’est-à-dire, éviter les hors sujets ou les digressions.
Même dans la rédaction des énoncés de problèmes scolaires, il ne faut pas violer les règles littéraires des mathématiques. Tant l’idéal « droit au but » est inhérent à la façon actuelle de les comprendre.

En dépit de certaines prises de position excessives, il est impossible de penser les mathématiques comme une activité purement formelle, bureaucratique : aucune équipe de bureaucrates n’aurait été capable de démontrer le théorème de Fermat en – disons – explorant les possibilités du formalisme, car il en a fallu des idées pour le démontrer, ce théorème ! D’ailleurs la démonstration automatique – par ordinateur – ne fonctionne pas, et ne fonctionnera jamais, à cause de ces fichues idées.
On voit que la compréhension de l’énoncé consiste en fin de compte à saisir ce qu’on peut appeler l’intention du locuteur.

Pour être libre de prouver ou d’invalider un raisonnement, il est nécessaire de se soumettre à un langage commun.

Au fur et à mesure que le discours progresse, il faut que que chaque élément puisse être rattaché à ce qui l’a précédé.

Ce discours, de quoi parle-t-il ?

On peut aisément s’accorder sur l’existence de trois mode de réalité :
– la réalité physique : une tuile qui tombe sur une tête aura les mêmes conséquences aujourd’hui qu’au moyen-âge, en France qu’au Pérou ;
– les réalités sociales : vérité en deçà des Pyrénées erreur au-delà ;
– et la réalité psychique pour laquelle les explications sont foisons.
Où ce situe les mathématiques dans ces domaines ? Certes leur usage en physique est acquis, les sciences sociales abusent des statistiques, des probabilités ou des structures, et la logique propositionnelle, les syllogismes, la théorie des nœuds, entre autres, ont habillé de sérieux certaines psychologie.

S’agit-il d’objets hors de portée, sans existence et donc difficile à se représenter ? On prétexte souvent le caractère abstrait des mathématiques pour justifier son aversion. Cependant, les objets mathématiques ont le même genre d’existence que, disons, le personnage de Harry Potter. Ce sont des mots, qui induisent des représentations, des affects, des questions, des exigences, etc. Harry Potter est bien plus que l’ensemble des signes utilisés par J. K. Rowling, pour le décrire ; sa force ne vient pourtant pas de quelque fidélité à une réalité dont il serait issu. De même, les objets mathématiques sont plus que l’ensemble des signes utilisés par les mathématiciens. On ne peut pas les manipuler n’importe comment – ce qui ne signifie pas qu’ils soient astreints à exprimer objectivement quoi que ce soit de réel : J. K. Rowling non plus n’a pas créé Harry Potter n’importe comment. Les personnages de roman ont leur autonomie, et imposent leur logique à 1’auteur.
En linguistique le nom abstrait est souvent perçu comme « celui qu’on peut définir sans être pour autant capable de l’illustrer.»

D’autres plus hermétiques, disent que « Le signifiant n’a de sens que dans sa relation à un autre signifiant. » (J. Lacan), pour le dire de façon trivial, on tourne en rond dans le dictionnaire, qu’il soit mathématiques ou linguistique. Mais ce n’est pas là la seule interprétation de cette citation.

Par exemple, le carré peut être instancié en disant « Considérons le carré ABCD » ; nous sommes suffisamment habitués à l’sage de l’adjectif « carré » dans la vie quotidienne pour n’avoir pas à se demander ce qu’il désigne.
Par contre, le mot « variable » lorsque l’on dit « la variable x » pose autant, mais pas plus, d’interrogation que l’emploi du mot « ça ». Remarquons que la plupart des noms abstraits ne tolèrent pas le pluriel, par exemple : la tristesse, la haine, l’immortalité, mise à part quelques exemptions comme les amours,

Les noms concrets, étant donné leur faculté d’être « représentables » et inversement, les substantifs superordonnés comme animal ou plante, bien que susceptibles de désigner les êtres perceptibles, apparaissent comme abstraits du fait qu’on a du mal à leur associer une image concrète.
ou les substantifs comme parallélogramme, cercle ou prisme, « qui sont des constructions d’esprit »

Il est mal commode de se représenter les mots « somme ….»

Pourquoi qualifier de « symbole » certains signes mathématiques ?

L’usage des lettres utilisées respectent une certaine logique : x pour nombre, d pour distance, f pour fonction. Si une lettre est déjà utilisée, on prend la suivante dans l’alphabet.

• Faut-il réapprendre à lire ?

  Usage des outils pour élucider.

  Lire un « énoncé » c’est donner au texte une interprétation mathématique.

  • La lecture littérale ne suffit pas, on peut
    • mettre en relief / mettre à plat
    • chercher ce que cela montre, représente, dissimule, rend invisible, soustrait aux regards, garde secret, soustrait à la connaissance
    • lire entre les lignes, discerner, entrevoir, pressentir, flairer, prédire, sentir, découvrir, soupçonner, prophétiser, prévoir, pénétrer, se douter, présager, subodorer, déchiffrer, connaître les intentions, avoir le nez fin.
    • se demander ce que ça cache, ce que cela recèle, révèle,
    • déterminer ce que cela suppose…
  • Pour concrétiser, pour se faire une idée, s’imaginer de quoi parle le texte.
  • Prendre des exemples pour « pré-sentir le fonctionnement… »
    • S’arrêter régulièrement pour relire : Déclic
    • Lire d’abord les propositions, et plus tard les démonstrations,
    • Vérifier le texte : Questionner l’énoncé pour résoudre le problème
    • Avancer,
    • Relire,
    • Écrire une synthèse : Méthodologie de la synthèse de documents
    • Faire coïncider chaque élément de l’énoncé avec sa traduction (dessin ou expression) et de même vérifier que représentation correspond à un élément de l’énoncé.
    • Repérer l’intention, l’objectif de l’exercice : UTLS : Philosophie de l’esprit et sciences cognitives Quand le téléphone sonne on déduit que quelqu’un vient de d’écrire un SMS, La signification n’est pas contenue dans l’énoncé, il faut l’associer, Distinguer les croyances intuitives des croyances culturelles, Distinguer entre indice (fiable) et symbole (peut dysfonctionner). Dan Sperber : UTLS : La communication du sens C’est la capacité d’attribuer à autrui des états mentaux qui aura rendu possible la communication humain. (cf Les neurones miroirs)
    • Modalités d’expression
      • L’inéquation et la négation p209
      • Coordinations et subordination : et ou ∩ ⊂ ⇒ …
      • Assertions, injonctions, interrogations, optatives p 214
      • Les lieux communs et les formules toutes faites (produit en croix, moins par moins ça fait plus…), la dérivée d’une somme est la somme des dérivées, le carré d’une somme n’est pas la somme des carrés.
    • Les figures :
      • Domaine de définition : prolepse figure par laquelle on prévient une objection, en la refusant d’avance comme dans « Cela serait trop long à expliquer », Théorème admis.

  Mettre dans le contexte.

  Autant un texte grec peut-il être interprété de multiples façons, autant le texte mathématique ne devrait avoir qu’une et une seule interprétation. Excepté dans des expressions comme ‘Soient a, b, c non nuls’ où seul le contexte permet de déterminer si des trois variables aucune n’est nulle ou si l’une d’elles peut être nulle pourvu qu’elles ne soient pas toutes trois simultanément nulles.

  Rendre présent à l’esprit.

  Remarquez les mots de transition importants. Savoir écouter attentivement, c’est aussi savoir entendre les mots qui signalent un point important à prendre en notes. Les mots de transition signaleront bien souvent le début d’une nouvelle section dans vos notes. Soyez attentif aux termes tels que les suivants. Ils indiqueront généralement que vous devrez noter ce qu’il suit.

  • Premièrement, deuxièmement, troisièmement…
  • Ce qui est important …
  • Un développement majeur …
  • En revanche …
  • Par exemple …
  • Par contre …
  • De plus …
  • En résumé …
  • Souvenez-vous que …

   

  Passages parallèles : Raccorder, rassembler.

  Lorsque nous trouvons dans un texte une expression obscure ou plurivoque, nous essayons d’abord d’interpréter cette expression grâce à une autre expression, parallèle sur le plan verbale ou des objets, c’est-à-dire « semblable »,

  Que peut-on déjà observer

  Les formes et les figures dans les expressions

  • L‘abréviation est l’une des formes prépondérantes (10³ pour 1000, …)
  • La définition, tantôt explicite et tantôt implicite, est systématique p233 normative (dérivable), descriptive (parallélogramme), condensation (vecteur) p283
  • La citation, marque l’appartenance à une communauté, (d’après Pythagore, ...)
  • L’énallage de la personne pour associer l’élève (Nous allons montrer que ...)
  • L’incompatibilité (p264) et le tiers exclu (en mathématiques). Quid de ceux qui vivent un conflit ?

Les freins à la compréhension

De même que le sens du mot que l’on a commencé à lire est anticipé dès les premières lettres de celui-ci, le sens de la phrase le sera dès la lecture de ses premiers mots, chaque anticipation étant susceptible d’être corrigé au fur et à mesure de la progression de cette lecture. Le phénomène renvoie en cela à la circularité du tout et des parties.

« Les opposés des opposés sont des opposés », ou : « ce qui appartient à la partie appartient au tout » ? Mais peuvent-ils inclure aussi des jugements de valeurs, donc des comparaisons comme « une chose bonne, c’est adopter un bien plus grand au lieu d’un moindre bien et, entre deux maux, de choisir le moindre » ?

Nous avons des préjugés

On lit, on écoute, on regarde avec nos préjugés. Le lecteur invente l’histoire. Est-ce possible en math ?

Différents niveaux d’interprétation ;

Le fil de la pensée dans l’exercice mathématique doit-il être considéré comme illusion par opposition avec la formalisme de l’écriture. Pourtant il arrive qu’un exercice soit résolu « de tête » avant de pouvoir être exprimé par écrit. Parfois même, il semble qu’un exercice soit résolu sans même y penser de façon « subconsciente ».

Amphibologie

Qu’est-ce que ça dit ? Différents niveaux d’interprétation ; Repérer les passages obscurs ; Y-a-t-il amphibologie ?
Y-a-t-il amphibologie ? On peut citer les mots « tangente », « premier » qui prennent sens selon le contexte.

Les littéraires utilise la dialectique. La dialectique construit des conflits en vue de constituer la connaissance,

l’herméneutique s’attache à l’élucidation des énoncés et la résorption des erreurs de compréhension qui sont systématiquement présupposées.

Polysémie du mot « signe » ! ! ! Signe du nombre, de la fonction, signe d’égalité (=) d’inégalité (<, >…) signe d’opération

Une parole qui s’attend à une réponse. (L’élève attend une note, une remarque…) On lit, on écoute, on regarde avec nos préjugés. Le lecteur invente l’histoire. Est-ce possible en math ? Les 3 vérités : physiques, sociales et psychique. Quid des maths ?

Nécessité du commentaire du texte mathématique

S’agit-il de traduire :

En admettant que les mathématiques soient une langue, sa traduction en français, en anglais ou tout autre langue se heurte à des obstacles d’une toute autre nature que la traduction « à la Google ». On est loin de la Novlang ! Et l’on peut interroger la fonction créatrice du langage (p 445) en math et ailleurs.

Les ouvrages canoniques

Doit-on considérer certains exercices (ou exemples) comme emblématiques, exemplaires, (canon)
propres à faire comprendre quelque chose au delà de l’exercice proprement dit ? (allégorie ? )
Sens caché ?
‘La lettre enseigne l’histoire, l’allégorie, ce à quoi tu crois ; le sens moral, ou tropologique, ce que tu fais ; l’anagogie, ce vers quoi tu tends’.
Ce célèbre verset cité par Nicolas de Lyre au XIV° siècle, résume toute l’exégèse des pères de l’Eglise.
p 439 (Sens littéral de « L’interprétation » ) La fusion, voire l’identification du sensus litteralis et du sensus historialis résulte du caractère narratif des Évangiles. Elle est propre à l’exégèse théologique des Écritures.
Convient-il de lire uniquement d’un point de vue formel ou doit-il donner du sens à la lecture ? (cf Baruk, Si 7 = 0. Quelles mathématiques pour l’école ? ).

Équivalents des actes de parole (p 448) : interprétation du discours comme agir,

Traduire les maths 3 exemples : https ://www.erudit.org/fr/revues/memoires/2017-v9-n1-memoires03394/1043118ar/
[…] Parallèlement, la partie réservée à l’algèbre dans le « Webber », tout comme dans les manuels domestiques, privilégie une présentation des savoirs et un ordre logique qui sont tous deux empruntés aux ouvrages de géométrie euclidienne. Ceux-ci ne recourent pas aux récents résultats de l’analyse et abondent en règles particulières et exemples applicatifs. Critique de cette méthode pour l’enseignement de l’algèbre, à l’instar de plusieurs autres pédagogues américains de l’époque[26], Farrar traduit les Éléments d’algèbre de Lacroix, ouvrage dans lequel l’auteur français propose une présentation des savoirs suivant l’ordre dans lequel l’esprit humain se les approprie graduellement, exposition jugée alors plus naturelle. En traduisant Lacroix, Farrar souhaite exposer « la métaphysique du calcul[27] », c’est-à-dire une science entière et cohérente, et non une suite segmentée de mécanismes opératoires. L’ouvrage préfère alors la généralisation des résultats à l’exposition d’une série de cas particuliers[28]. […]
Particularité plus intéressante, le traducteur mentionne également en avoir attendu un profit financier, ce qui ne se produit pourtant que rarement dans le cas des ouvrages de mathématiques. Cela peut expliquer le fait qu’il s’agisse d’une traduction littérale et non pas d’une adaptation, pratique courante dans l’espace germanophone et bien plus coûteuse en temps. L’auteur a tout de même converti les unités de mesure usuelles (monnaies, poids, longueurs, etc.) en leurs équivalents saxons et prussiens.[…]
Comment garantir qu’un énoncé de langue allemande renvoie à la même croyance qu’un énoncé de langue française, par exemple ?

Exemple de logique, p XI  :

[…] Une analyse des intentions de discours (les buts illocutoires associés à l’expression). Un exemple : l’énoncé « Ne devrais-tu pas partir ? » n’est pas la preuve d’un comportement non-classique de la négation et d’une pluralité de significations de l’opérateur de négation : s’il équivaut à l’énoncé apparemment opposé « Tu devrais partir », c’est parce que la première expression est un acte interrogatif où le locuteur suggère l’accomplissement par l’interlocuteur de l’affirmation « Je vais partir ». Si les deux énoncés ci-dessus ne sont pas contradictoires, c’est parce qu’ils ne correspondent pas à deux énoncés déclaratifs opposés ; ils correspondent respectivement à une question (but illocutoire directif) et une promesse portant sur un même contenu propositionnel, c’est-à-dire deux actes directifs dont le but illocutoire est le même mais dont la force illocutoire n’est pas identique (suggérer le départ : « tu devrais partir », promettre le départ : « je vais partir »). Le logicien non-classique a selon nous le tort de ne pas tenir compte de cet aspect illocutoire du discours et de réformer la lettre des phrases avant de comprendre l’esprit de leur énoncé. […]

L’analogie entre les mondes possibles de la logique modale et les tables de vérité de la logique classique s’obtient en quantifiant sur des assignations de valeurs de vérité. Dans une table de vérité bivalente, chaque colonne indique une ‘proposition’ atomique reflétant un état de choses, et la dernière colonne indique une proposition exprimant un fait ; chaque ligne exprime un ensemble d’état de choses ou monde possible et détermine le statut ‘modal’ de la formule : la nécessité correspond à l’assignation de la vérité pour chaque ligne, l’impossibilité à l’assignation de la fausseté pour chaque ligne, la contingence à l’assignation de la vérité pour certaines lignes et de la fausseté pour d’autres.

3. Dans l’enseignement des mathématiques le mot « énoncé » n’a pas son sens habituel ? ?
4. Bouleau_Nicolas
   L’outil principal est sémantique : inventer des idées simplifiantes. […]
   Si l’on suit aujourd’hui la démarche de Descartes de s’inspirer de la rigueur mathématique pour ordonner sa pensée, force nous est de tenir compte de cette grande leçon des années trente : la fécondité et la puissance des mathématiques leur vient de méthodes abstraites et non de dénombrements exhaustifs.
5. [Sartre] met en effet le doigt sur le caractère théorique de la liberté cartésienne : une création scientifique qui nie la liberté de créer. Il fait à ce propos cette remarque simple mais philosophiquement essentielle : « Il entre toujours, dans l’ivresse de comprendre, la joie de nous sentir responsables des vérités que nous découvrons. Quel que soit le maître, il vient un moment où l’élève est tout seul en face du problème mathématique, s’il ne détermine pas son esprit à saisir les relations, s’il ne produit pas lui-même les conjectures et les schèmes qui s’appliquent tout comme une grille à la figure considérée et qui dévoileront les structures principales, s’il ne provoque enfin aucune illumination décisive, les mots restent signes morts, tout est appris par cœur ». Sartre a donc perçu l’importance et la fondamentale liberté du travail sémantique en mathématiques qui conditionne leur fécondité. […]
   Ecrites aujourd’hui en un système de signes assez bien unifié, les mathématiques restent fondamentalement polysémiques et le travail du sens y est la dimension principale de créativité. […]
   L’abstraction mathématique au contraire, qui elle est féconde, se présente comme un travail interprétatif où le sens qui vient à émerger parvient à éclairer des situations préalablement inextricables. Après la période moderne et la tentative unitaire de Bourbaki, le mathématicien redécouvre aujourd’hui une activité culturelle plus proche de celle des grands amateurs du passé.
   
   

Suivre un raisonnement :

Le fait que le pont se soit écroulé est la raison pour laquelle la route était coupée. » […] Ce trait est également implicite dans la conception aristotélicienne du syllogisme pratique : une raison est une proposition vraie, décrivant un fait., susceptible de figurer comme prémisse dans un syllogisme pratique.

Les testes canoniques :

la notion du classique pose le problème d’une sorte de canonicité séculière. p 65 Dans un sens transposé, on pourra même parler de certains textes comme de véritables « bibles » séculière (les Principia matematica comme la bible des mathématiques modernes !)

c’est tout ce qui va sans dire, mais qui pourrait bien apparaître à un autrui venu d’une autre époque ou d’un autre horizon comme étant extrêmement discutable, voire complètement incongru.

Penser toujours en accord avec soi-même.

Écrire

• Rédiger avec des phrases : La phrase, La rédaction en mathématiques : Rédiger un exercice de maths, Christophe Bertault – MPSI Petit manuel de bonne rédaction.
• Utiliser la ponctuation : Signes de ponctuation et espaces, Règles de typographie mathématiques
• Être simple : S’habituer à s’exprimer clairement
• Informer le lecteur par :
  • la description,
  • l’énumération,
  • la séquence,
  • la comparaison,
  • la relation entre la cause et l’effet,
  • la relation entre le problème et la solution.
• Explicitez vos affirmations,
• Dites ce que vous pensez,
• Utiliser des symboles,
• Présenter les résultats,
• Faire une relecture critique,
• Prendre le temps de la réflexion

Résoudre

• D’après le texte Discours de la méthode de Descartes :
  • Ne rien accepter de la lecture sans l’avoir compris,
  • Diviser la difficulté en étapes plus simples,
  • Tacher d’aller du simple au compliqué,
  • S’assurer de ne rien oublier.
• Et d’autre part : Descartes établit une relation sémantique entre l’arithmétique et la géométrie. (ie : traduction) : Aphasie et acalculie

• Résoudre un problème
  • Les quatre étapes de Polya
    • Comprendre :
      • Comprendre tous les mots et symboles de l’énoncé,
      • Utiliser son intuition,
      • Récapituler ce que l’on sait des hypothèses et de la conclusion,
      • Travailler par aller-retour,
      • Commencer avec des cas particuliers,
      • Travailler avec des exemples,
      • Faire un dessin,
      • Chercher une analogie, un problème équivalent : Les neurones miroirs (vidéo de 8mn)
      • Résoudre un problème plus simple.
    • Établir un plan :
      • Décomposer le problème,
      • Attribuer un nom aux objets,
      • Y-a-t-il plusieurs façons pour résoudre,
      • Décider d’une méthode.
    • Mettre le plan en œuvre :
      • Vérifier chaque étape,
      • Revenir en arrière.
    • Vérifier la réponse : Vérifier les résultats d’un devoir de mathématiques
      • Trouver une autre solution.
      • Exemple : 6 étapes pour réussir un exercice de Maths
      • Utiliser des arguments publics (admissibles par tous) pas des convictions,
      • Types de problèmes : Chauvel
      • Analogie (Exemple Pythagore, Thalès …)
      • Conception (Problèmes ouverts ? )
      • Transformation (Exemple tour de Hanoï)
      • Types de résolutions :
      • Démarche à rebours
        • Classement APMEP
        • L’heuristique mathématique
  • Reformuler (cf l’écoute active, Karl Rogers et Gordon) : Écoute active, Les techniques de reformulation : tout un art , 9 outils, Reformuler et synthétiser.
    • • observer, évaluer, décider, conclure, remarquer, résumer, repérer, déduire, retenir
    • • visualiser (« voir »), comparer, relier, contraster, différer, prédire, examiner
    • interpréter, distinguer, expliquer, décrire …
    • Répéter le texte tel quel (perroquet),
    • Reformuler en miroir en commençant par En d’autres termes, si j’ai bien compris, cela veut dire que, …
    • Reformulation résumé synthèse, En résumé, cela me dis que, si je résume, au final, en deux mots,…
    • Reformulation clarification ou élucidation Pour aller plus loin, préciser un élément, j’en déduis Cela revient à dire, en clair, si je comprends bien…
    • Reformulation par l’enseignant :

      D’autant que le discours épidictique a pour but essentiel de « consolider l’adhésion à des valeurs partagées ¹». Perelman renchérit : « contrairement à la démonstration d’un théorème de géométrie, qui établit une fois pour toutes un lien logique entre des vérités spéculatives, l’argumentation du discours épidictique se propose d’accroître l’intensité de l’adhésion à certaines valeurs […]. L’orateur cherche à créer une certaine communion autour de certaines valeurs reconnues par l’auditoire, en se servant de l’ensemble des moyens dont dispose la rhétorique pour amplifier et valoriser² ».

      1^ Bonhomme et Adam, op cité, p 91.
    • Qu-est-ce qui est discutable ?
      D’une manière générale, tout l’apparat dont on entoure la promulgation de certains textes, le prononcé de certaines paroles, tend à rendre leur répudiation plus difficile et à augmenter la confiance sociale. Le serment, en particulier, ajoute à l’adhésion exprimée une sanction religieuse ou quasi religieuse. Il peut concerner la vérité des faits, l’adhésion à des normes, s’étendre à un ensemble de dogmes : le relaps était passible des plus grandes peines, parce qu’il contrevenait à un serment. La technique de la chose jugée tend à stabiliser certains jugements, à interdire la remise en question de certaines décisions. En science, en distinguant certaines propositions que l’on qualifie d’axiomes, on leur accorde explicitement une situation privilégiée au sein du système : la révision d’un axiome ne pourra plus se produire que moyennant une répudiation tout aussi explicite ; elle ne pourra se faire par une argumentation qui se déroulerait à l’intérieur du système dont cet axiome fait partie.²» 2^ Perelman et Olbrechts-Tyteca, Traité de l’argumentation, p 67, 1988.

• Raisonner
  • Étapes du raisonnement : « S’assurer certains accords ou certains rejets est donc un des objectifs déterminant l’ordre dans l’argumentation. En effet la construction d’un discours n’est pas uniquement le développement de prémisses données au départ ; elle est aussi établissement de prémisses, explicitation et stabilisation des accords 1. C’est ainsi que chaque discussion présente des étapes, jalonnées par les accords qu’il s’agit d’établir, qui résultent parfois de l’attitude des parties et qui, parfois, sont institutionnalisées grâce à des habitudes prises ou à des règles explicites de procédure².»
    1 Cf. § 103 : Ordre et persuasion in i>Traité de l’argumentation. 2 Perelman et Olbrechts-Tyteca, Traité de l’argumentation, p 147-148, 1988.
  • Différents types de raisonnements
    • Raisonnement déductif
    • Raisonnement par disjonction de cas
    • Raisonnement par l’absurde cf Perelman et Olbrechts-Tyteca, Traité de l’argumentation, p 149, Le raisonnement ad hominem et l’exemple du 13 à table (super)
    • Raisonnement par contre-exemple
    • Raisonnement par présomption et induction
• Erreurs de raisonnement :
  • Pétition de principe

Quand a-t-on compris ?

La question disparaît quand la réponse est obtenue.

Quel effet sur soi ?

Car la lecture est une manière d’infléchir nos perceptions, de prendre des plis nouveaux., de nouvelles façons de faire attention. […]

Ricœur développe de son côté une « herméneutique du soi » qui débouche, dans les derniers travaux du philosophe, sur une « phénoménologie de l’homme capable ».

p 41 « comprendre, c’est se comprendre devant le texte»

Penser par soi-même

Les êtres humains se caractérisent [..] par une faculté accrue à différer la réponse aux stimuli extérieurs ; c’est ce qui dégage une marge de manœuvre et permet une certaine créativité de l’action. [… risque d’hésitation, d’incertitude] le rôle de la culture est de réduire ces risques, en tant qu’elle est au départ un répertoire partagé et codifié de modèles du monde et de règles d’actions

Penser en se mettant à la place d’autrui

« Le signifiant n’a de sens que dans sa relation à un autre signifiant. » J. Lacan, « Du sujet enfin en question », Écrits, Seuil, 1966, p. 234.

En réfléchissant, on se dit que …comme un alter(re) égo de qui on attend une réplique.

« Où manque le doute, manque aussi le savoir. » Expliquer c’est obtenir l’adhésion de l’autre

L’ironie est, sans doute, le mode d’expression impossible à exprimer en mathématiques.

Table des sujets

Permutations