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Quels rapports entre les rapports ?


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À l’école et en cinquième, nous avons travaillé le notion de fractions et nous avons effectué différents calculs de vitesse

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À gauche, le grand rectangle rouge est fractionné en 15 petits carrés dont 6 carrés verts et cinq bandes verticales dont deux bandes vertes. Le rectangle vert a une aire qui peut s’exprimer soit comme les \dfrac{6}{15} du grand rectangle rouge, soit comme les \dfrac{2}{5} du rectangle rouge.
Et nous avons construit des tableaux de proportionnalité :

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Dans l’ellipse bleue nous avons écrit un coefficient, c’est-à-dire un facteur par lequel il faut multiplier tous les nombres de la ligne supérieure pour obtenir les nombres de la deuxième ligne. Dans le cercle rouge on a écrit le calcul inverse. On peut lire que \dfrac{2}{5} = \dfrac{6}{15} = \dfrac{40} {100} c’est-à-dire que 6 est les 40\% de 15 et que 1 est les 40\% de 2{,}5. On parle bien de fraction d’une quantité, ou du rapport de deux mesures. En classe de 4^{\grave {e}me} nous avons observé que, dans un triangle rectangle, le rapport du côté adjacent et de l’hypoténuse ne varie qu’avec la mesure de l’angle.
Par la suite, nous avons étudié le théorème de Thalès où l’on parle de rapports égaux. Et nous avons appris que des droites parallèles déterminent sur des sécantes des rapporte égaux :
On peut aussi dire que les proportions sont gardées et écrire \dfrac{MN}{AN} = \dfrac{BC}{AC}. Cette dernière égalité peut être calculée en permutant les termes en croix : \dfrac{MN}{\color{red}{BC}} = \dfrac{\color{red}{AN}}{AC} \Longrightarrow \dfrac{MN}{\color{red}{AN}} = \dfrac{\color{red}{BC}}{AC} Certains rapports ont un nom : quart \left(\dfrac{1}{4} \right), pourcentage \left(\text{ex :}\dfrac{30}{100}\right) , échelle \left(\text{ex :}\dfrac{1}{42}\right), sinus \left(\dfrac{\text{oppos\'{e}}}{\text{hypot\'{e}nuse}}\right), et pente \left(\dfrac{\text{oppos\'{e}}}{\text{ajacent}}\right), La pente , c’est un autre nom pour la tangente de l’angle \left(\dfrac{\text{oppos\'{e}}}{\text{ajacent}}\right). Le terme de coefficient directeur est un synonyme de pente quand on écrit l’équation d’une droite : exemple : f(x) = \dfrac{2}{1} x -3. Et lorsque la droite rouge dans l’image de droite touche la courbe noire en un seul point, on que cette droite est tangente à la courbe et le coefficient directeur de cette tangente s’appelle le nombre dérivé de la courbe au point de tangence.
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