1. Au-delà des mots

Ce que les mathématiciens contemporains appellent « nombre complexe », Descartes l’appelait « nombre imaginaire », et les mathématiciens du XVIè siècle, « nombre impossible ». Ces termes successifs désignent-ils un objet fixe et immuable, que les hommes réussiraient à cerner de plus en plus près ? Je ne crois pas : les termes « complexe », « imaginaire », « impossible », sont trop expressifs pour qu’on soit en droit de négliger leur sens. Ils modifient l’objet qu’ils désignent, exerçant ainsi une influence littéraire sur les mathématiques. Quant a nous figurer que nous possédons désormais le bon concept, désigné par un terme fixé à jamais, ce serait aussi absurde que de croire à la fin de l’histoire.

L’immatérialité des objets mathématiques les fait plus dépendre de la langue que les concepts des autres sciences. Les mathématiques ne sont pas tout entières tendues vers la réalité matérielle comme réfèrent ultime : une démonstration est un discours [N JJD : mais qu’est-ce que la démonstration, si ce n’est, comme la dialectique, une joute oratoire entre un questionneur et un répondant cf Meyer p 26 ] ; ce qui le rend convaincant, est qu’il soit conforme aux lois du discours (mathématique),[N JJD: Convaincre ou persuader, causes/raison …] non qu’il soit étayé par des expériences. Certes, les mathématiques sont susceptibles d’applications. Mais cela vient après. L’œuvre du mathématicien « pur » est un discours. Si on avait montré que l’univers est euclidien, les géométries non euclidiennes auraient perdu plus d’intérêt aux yeux du physicien qu’à ceux du mathématicien. Même privés de réfèrent dans la réalité, les mots des géométries non euclidiennes auraient gardé un sens pour le mathématicien, ce qui lui aurait permis de continuer à manier les objets qu’ils désignent. En cela, on peut dire que la langue est un réfèrent pour le mathématicien. Certaines erreurs par artefact sont des erreurs de langue (voir annexe 1),

Un mot n’est jamais vierge. Même s’il désigne un objet nouveau et a été inventé pour lui, il ne sort jamais de rien, a toujours des connotations, des origines. On ne peut pas désigner sans, en même temps, qualifier. Les mots influent donc sur la représentation que nous avons des objets mathématiques qu’ils désignent. Mais ils font plus encore : ces objets étant pris dans la langue, les mots sont partie intégrante d’eux, ils influent sur leur propre nature. Un nombre complexe n’est pas un nombre impossible. Pas seulement à cause de son utilisation en physique, qui lui donne une réalité impensable au XVIè siècle, mais aussi à cause du sens des mots. Les expressions nombre impossible et nombre complexe ne désignent pas le même objet.

L’écriture mathématique va « droit à l’essentiel ». Pas de détails : ils cacheraient le fil de la démonstration. Les digressions sont exclues. Pas question de décrire les fausses pistes qu’on a essayées, ni pourquoi on y a cru. L’indispensable, et rien de plus. Cette convention de style est adoptée de façon si générale, qu’elle s’est transformée en nécessité, se justifiant elle-même : les indications superflues déroutent d’autant plus le lecteur, qu’il s’attend moins à ce viol de la convention ; son esprit est préparé à ce que tout ce qu’il lit soit décisif pour la démonstration en cours. L’auteur doit saisir la chose même, s’effacer derrière, et l’exprimer exactement. L’idéal de la rédaction mathématique, c’est le squelette ! Et (si j’ose filer pareille métaphore) les os du squelette sont ces signes cabalistiques (formules, équations, symboles) qui effraient les esprits profanes et dont la fonction est de dire l’essentiel sans fioriture. Une bonne notation, en mathématiques, est celle qui réussit à agripper l’essentiel. Kis à part les cas de bluff (qui existent, naturellement), ce que le texte omet de dire se réduit exactement à ce que le lecteur (mathématicien, comme l’auteur) n’aura « aucune peine » à compléter – calculs de routine, méthodes bien connues, etc.

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— Inesthétique» On pourrait presque mesurer le « degré de pureté » d’un mathématicien à l’Importance qu’il attache à l’esthétique de ses résultats – critère interne aux mathématiques s’il en est ! Pourtant, rien de plus social et de plus changeant que des canons de beauté – y compris en mathématiques» Par exemple, la concision, tellement prisée chez les chercheurs modernes, est un critère esthétique qui en vaut d’autres, mais c’est aussi une exigence de l’efficacité : il y a de nos jours pullulement de chercheurs et d’articles, chaque chercheur est pressé (car la publication est une compétition permanente) et n’a pas de temps à perdre à lire les états d’âme de l’auteur. Et les revues n’ont pas de papier à gaspiller… Bref, le « résultat puissant » aurait peut-être moins d’attrait esthétique si notre société attachait moins d’importance à cette qualité qui n’a a priori rien à voir avec l’esthétique : l’efficacité.

— Le temps. Nombreuses et significatives sont les connexions qu’on peut mettre en évidence entre le « paramètre réel t » que le mathématicien fait varier linéairement entre – et + , et la conception linéaire du temps dans notre société (par opposition à l’éternel retour, par exemple).

— Les mots. Si puriste soit-il dans l’emploi des termes, le mathématicien leur donne du sens par des allusions au monde vulgaire dans lequel il vit ; même dans les théories les plus abstraites, les mots sont empruntés au langage usuel, et il y a un rapport entre le sens mathématique et le sens vulgaire : les ouverts et les fermés de la topologie, la théorie des ensembles, les tonneaux et les faisceaux flasques, la ramification sauvage et modérée, etc. Comment croire qu’un être mathématique soit indépendant du terme qui le désigne et de l’effet qu’il produit sur les mathématiciens qui le manipulent quand on pense à ces nombres
qui furent successivement « impossibles » (Cardan les considérait comme une « torture mentale »), « imaginaires », et enfin « complexes » (simplement complexes, si l’on ose dire !), depuis que Gauss en a proposé une visualisation géométrique ?