Au cours de ma scolarité j’ai perçu une évolution de mon appréhension de l’écriture des mathématiques.
Les mots désuets
Aristote cherche la signification des mots vivants d’un autre dialecte, alors qu’au IIIᵉ siècle, on s’emploiera à saisir les mots poétiques ou à l’usage perdu.
Dès mon plus jeune âge, les nombres et les signes étaient associés par mes parents et mes proches à situations.
J’ai pris l’habitude de compter un, deux, trois et ainsi de suite de plus en plus loin.
Je ne me souviens pas des moments qui ont du être difficiles, dix, onze, …, trente, …, soixante-dix, …,
ajouter, soustraire, multiplier, diviser,
Je n’ai jamais douté, ni à l’école primaire, ni même au collège, que les mots utilisés en mathématique puissent être amphibologiques. Il me paraît secondaire de savoir de quand date cette prise de conscience puisqu’aussi bien cette idée ne semble pas, aujourd’hui, être largement partagée.
Instituteur, j’ai appris à mes élèves de cours préparatoire à associer les nombres à des couleurs aussi bien qu’à des quantités.
Pour cela j’ai utilisé le matériel Cuisenaire.
J’appréciais cette association nombre-couleur, parce qu’elle me rappelait le code des couleurs en électronique que j’avais appris avec mon père.
et je regrettais que les concepteurs du matériel Cuisenaire n’aient pas garder la même bijection. À dix-huit ans, j’étais loin de penser que l’ambiguïté du vocabulaire est difficile à éviter.
Les quatre opérations ont longtemps été les seules que je percevais, en tous cas jusqu’en quatrième ; c’est au collège et à la maison que j’ai ajouté la racine carrée à cette liste. Je n’ai pas été sensible au charme de l’algorithme d’extraction à la main, double produit et autres embuches que ma mère s’évertuait à me faire retenir. En revanche, il me semble avoir bien fait le rapprochement entre carré, côté du carré et racine carrée.
La géométrie renforçait bien aussi l’idée qu’à chaque mot correspondait une et une seule chose dans ce monde.
J’avais pourtant sous les yeux une ambiguïté qui aurait pu m’alerter. D’un côté, on parlait de carré pour la figure géométrique et de l’autre, le carré était un nombre, justement celui obtenu en élevant au carré la racine carrée :
Mais, peut-être, le calcul de l’aire du carré me faisait-t-il admettre le double sens du mot carré sans autre forme de procès ni interrogation. Et puis je ne posais pas encore de question impertinente.
C’est au collège, aussi, que j’ai eu à distinguer le sens littéral et le sens figuré de certains mots, et c’est avec insistance, que notre professeur de français nous justifiait le sens d’un mot par ses « racines » grecs ou latines. En mathématiques le quadri-latère et l’équi-latère se comprennent en disant que « latère » comme « latéral » évoque le côté et que « quadri » nous fait penser à quadrillage et « équi » comme équilibre rappelle l’égalité.
Cet apprentissage de la recherche du sens littéral par l’étymologie a donc commencé dès le collège, si ce n’est pas à l’école primaire.
Rompre l’os.
Rabelais, dans le prologue de Gargantua, en 1534, décrivait ainsi ce que doit être la lecture non passive : « C’est pourquoi (il) faut ouvrir le livre et soigneusement peser ce que y est déduit (…) puis, par curieuse leçon et méditation fréquente, rompre l’os et sucer la substantifique moelle. »
Plus précisément :Quatre sens ont été exprimés en vers par Augustin de Dacie (mort en 1282) :
« Littera gesta docet, quid credas allegoria, Moralis quid agas, quo tendas anagogia. ». Ce que l’on traduit habituellement par :
« La lettre enseigne l’histoire, l’allégorie ce que tu crois, la morale ce que tu dois faire, l’anagogie ce que tu peux espérer. »
Bien entendu, ce n’est pas au cours de mes années de collège que j’ai fait le rapprochement avec Rabelais, ni, a fortiori, avec les niveaux de lecture que proposent le judaïsme et le christianisme.
– Le cours de mathématiques ainsi que les énoncés des problèmes, pris mot à mot, présentent un sens premier insuffisant.
Observons par exemple le problème de quatrième suivant dans Lebossé-Hémery classe de 4ᵉ p. 72 :
Aujourd’hui les horloges analogiques ne font plus florès et les élèves ont à résoudre des questions semblables avec de horloges digitales dans Concours Kangourou des maths 2011 sujet C :
Parfois, les élèves comprennent sans effort, presque immédiatement, sans doute pour avoir appris à comprendre la situation. D’autres fois, le problème ne se comprend pas sans effort, et bon nombre d’élèves essayent de comprendre malgré tout, et cette compréhension passe par l’ « interprétation ».
En premier lieu, avec l’horloge de « grand-père » l’élève dit ne pas « voir » la solution, la question semble obscure. Le problème semble embrouillé, emmêlé, compliqué. Puis, l’énoncé peut sembler incohérent ; dans quel contexte cette question prend-elle forme : calcul de diviseurs ou de multiples communs ? calcul de vitesse et de temps ? calcul d’angle ? Résolution d’une équation ? Alignement de planètes ? Bref, l’élève dit qu’il ne sait pas comment faire. Enfin, le problème peut paraître indéterminé, même si clairement il faudra répondre par une heure (deux heures quelque chose), il peut hésiter à chercher un temps, un angle, un nombre qui conduirait à répondre.
En première lecture, l’énoncé pose question, pas seulement parce qu’il s’agit de déterminer l’heure où les aiguilles se superposent, mais aussi parce qu’il faut dépasser le sentiment d’affrontement avec un problème d’un autre âge. Si l’élève juge le problème hors de portée avant même de s’y confronter, s’il pré-juge, il condamne toute réponse possible.
L’élève peut dépasser le préjuger et commencer une réflexion. C’est-à-dire faire correspondre aux éléments de l’énoncé d’autres éléments qui expliqueront ce qui semblait compliqué.
À quelle heure, entre 2h et 3h, l’aiguille des minutes et l’aiguille des heures sont-elles à la seconde près superposées ?
Si l’on se représente mentalement la situation, on peut imaginer les positions de départ à 2 heures précise, et la position d’arrivée à l’heure recherchée. Il est alors possible de se dire que le temps écoulé entre ces deux moments est le même pour les deux aiguilles, la grande et la petite. Cette égalité de temps peut donc est écrite sous la forme d’un équation mathématique :
temps de déplacement de la petite aiguille = temps de déplacement de la grande aiguille
Ce temps de déplacement ajouté à 2 heures (l’heure de départ) nous donnera l’heure de superposition recherchée. Cherchons donc ce temps écoulé.
Ici donc, nous devons trouver la signification littérale de ce temps écoulé. C’est une traduction apprise dans le cours de cinquième et quatrième en accompagnement de la notion de proportionnalité.
, par exemple on dit , autrement dit soixante kilomètres parcourus chaque heure écoulée.
Pour une vitesse constante, le temps de parcours est proportionnel à la distance parcoure et donc , autrement dit, à vitesse constante, la durée du trajet augmente avec la distance parcourue.
On traduit bien littéralement un mot (temps, par exemple) par une expression (vitesse multipliée par la distance).
D’autre part, traditionnellement un tour se traduit par .
Les vitesses des deux aiguilles ne sont pas les mêmes, et les distances parcourues ne sont pas identiques. Nous avons donc quatre mots à expliquer :vitesse de la grande aiguille, vitesse de la petite aiguille, distance parcourue par la grande aiguille et distance parcourue par la petite aiguille.
En une heure, la petite aiguille des heures ne se déplace que d’un douzième de tour quand la grande effectue un tour complet.
Au collège cela se représente par le tableau de proportionnalité :
Autrement dit, il faut pour faire 10 minutes .
On peut donc traduire littéralement
temps de déplacement de la petite aiguille = temps de déplacement de la grande aiguille
*** QuickLaTeX cannot compile formula :
\begin{align*}\textcolor{DodgerBlue}{12 \times x } &= \textcolor{DarkGreen}{10\; \mathrm{ minutes} + x }\\
\textcolor{DodgerBlue}{11 \times x } &= \textcolor{DarkGreen}{10\; \mathrm{ minutes}}\\
\textcolor{DodgerBlue}{x} &= \textcolor{DarkGreen}{\dfrac{1 \; \mathrm{ minute} }{11} }\\
\end{align*}
*** Error message :
Package tkz-fct Error: tkz-base must be loaded before tkz-euclide.
leading text: \endinput}{}
Soit 54 secondes. Les deux aiguilles se superposent à 2 h 10 mn et 54 secondes.
Dans l’exemple ci-dessus c’est essentiellement l’explication du sens littéral qui conduit à la résolution.
à cette liste. Je n’ai pas été sensible au charme de l’algorithme d’extraction à la main, double produit et autres embuches que ma mère s’évertuait à me faire retenir. En revanche, il me semble avoir bien fait le rapprochement entre carré, côté du carré et racine carrée.
Aujourd’hui les horloges analogiques ne font plus florès et les élèves ont à résoudre des questions semblables avec de horloges digitales dans Concours Kangourou des maths 2011 sujet C :
Parfois, les élèves comprennent sans effort, presque immédiatement, sans doute pour avoir appris à comprendre la situation. D’autres fois, le problème ne se comprend pas sans effort, et bon nombre d’élèves essayent de comprendre malgré tout, et cette compréhension passe par l’ « interprétation ».
En premier lieu, avec l’horloge de « grand-père » l’élève dit ne pas « voir » la solution, la question semble obscure. Le problème semble embrouillé, emmêlé, compliqué. Puis, l’énoncé peut sembler incohérent ; dans quel contexte cette question prend-elle forme : calcul de diviseurs ou de multiples communs ? calcul de vitesse et de temps ? calcul d’angle ? Résolution d’une équation ? Alignement de planètes ? Bref, l’élève dit qu’il ne sait pas comment faire. Enfin, le problème peut paraître indéterminé, même si clairement il faudra répondre par une heure (deux heures quelque chose), il peut hésiter à chercher un temps, un angle, un nombre qui conduirait à répondre.
, par exemple on dit 
, autrement dit soixante kilomètres parcourus chaque heure écoulée.
Pour une vitesse 
constante, le temps de parcours est proportionnel à la distance parcoure et donc 
, autrement dit, à vitesse constante, la durée du trajet augmente avec la distance parcourue.
On traduit bien littéralement un mot (temps, par exemple) par une expression (vitesse multipliée par la distance).
D’autre part, traditionnellement un tour se traduit par 
.
Les vitesses des deux aiguilles ne sont pas les mêmes, et les distances parcourues ne sont pas identiques. Nous avons donc quatre mots à expliquer :vitesse de la grande aiguille, vitesse de la petite aiguille, distance parcourue par la grande aiguille et distance parcourue par la petite aiguille.
En une heure, la petite aiguille des heures ne se déplace que d’un douzième de tour quand la grande effectue un tour complet.
Au collège cela se représente par le tableau de proportionnalité :
pour faire 10 minutes 
.
On peut donc traduire littéralement
